Teoremi di Incompletezza -Kurt Gödel

Bene eccoci pronti, o almeno spero, a risolvere il paradosso che avevo proposto nel post precedente.
Innanzi tutto nel titolo ho svelato il nome del grande matematico logico che nel 1931 si occupò di questioni molto affini con quanto espresso all'interno del paradosso da me provocatoriamente introdotto e bassato su un paradosso noto fin dall'antichità con il nome di Paradosso del Mentitore formulato per la prima volta da Epimenide di Creta che da cretese formulò la seguente affermazione: "Tutti i cretesi sono bugiardi". Va da se che tale affermazione contiene, vista la sua autereferenziazione, la possibilità di una lettura positiva quanto una sua negazione. Ora tenterò di illustrarvi il perché e come in tutto questo centra il grande Kurt Gödel.
Prima di tutto definirò una minima terminologia che ci potrà aiutare a capire i due teoremi di Gödel.
Coerenza: in logica matematica si dice che un sistema è coerente o consistente se esso non è contradditorio.
Completezza: un insieme di assiomi è sufficiente a dimostrare tutte le verità di una teoria e quindi la sua falsità o verità.
Indecibilità: se in una teoria T, non è possibile dimostrare la verità o la falsità di una affermazione.
Logica del Primo Ordine: sistema formale in cui si possono esprimere gli enunciati e dedurne le conseguenze in modo meccanico.
Elementi della teoria del primo ordine:

1. Alfabeto: insieme finito di simboli.
2. Linguaggio del primo ordine: insieme di formule ben formate che rappresentano enunciate con senso compiuto.
3. Insieme di assiomi logici: insieme di formule che esprimono le relazioni logiche relative ai conettivi logici e ai quantificatori.
4. Insieme di assiomi logici: stabiliscono alcune relazioni fondamentali tra gli oggetti della teoria non deducibili dagli assiomi logici.
5. Insieme di regole di inferenza: stabiliscono quando una formula è una conseguenza logica di altre formule

Nella logica formale sia che gli enunciati sia le dimostrazioni vengono scritti in un linguaggio simbolico (i.e. attraverso simboli matematic) quali ad esempio +, *, =, ... . Un esempio di un teorema del primo ordine è quello noto come aritmetica di Peano definente la teoria dei numeri naturali (sono numeri quali 1, 2, 3, ...).
Ma ora enunciamamo i due teoremi dimostrati da Gödel:

• Primo teorema di Incompletezza: In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica, esiste una formula F tale che, se coerente T è, allora né la sua negazione sono dimostrabili in T.
• Secondo teorema di Incompletezza: Sia T una teoria matematica sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica: se T è coerente, non è possibile provare la coerenza di T all'interno di T .

Vi domanderete cosa centra tutto questo con il paradosso del mentitore, ebbene centra eccome ed ora tenterò di spegarvelo. Le implicazioni che ne usciranno saranno davvero inaspettate e sicuramente vi stupiranno, o almeno così spero.
Così come nel paradosso del mentitore, sia esso quello da me miseramente introdotto o il più acuto ed avvincente creato nel VI secolo a.C., anche nella logica matematica del primo ordine esistono delle incoerenze. Alla base di questo c'è un motivo legato al come sono espressi gli assiomi di base e come questi assiomi "riescono" ad essere completi. Per ragionare di questioni matematiche di questo tipo bisogna spostare il ragionamento da qualcosa di puramente matematico verso qualcosa che vada oltre ossia verso la metamatematica. Cos'è la metamatematica? Semplicemente quel qualcosa che parla di matematica usando un linguaggio che non sia matematico. Eccovi un esempio:

1+1=2

quest'equazione come tutti potete vedere è sicuramente vera, essa è una identità. Invece la frase: La formula "1+1=2" è un'identità esprime un ragionamento metamatematico, le "..." nell'ultima proposizione introdotta hanno un preciso significato, ciò che racchiudono non è il loro un concetto matematico ma un'espressione disgiunta da esso che serve per definire un concetto matematico. Se volete pensatelo scritto in lettere.
L'astuzia e l'intelligenza di Gödel sono state quelle di riuscire a ricondurre proposizioni espresse tramite la metamatematica verso un linguaggio matematico composto da numeri e simbolirendendo così molto più maneggevoli tali oggetti. Il processo sviluppato da Gödel sul quale poi esso andrà a dimostrare i suoi famosi teoremi è noto come Gödelizzazione, la dimostrazione di tali teoremi è una cosa per matematice veri ed a me è totalmente oscura quindi non ne parlerò in questa sede. Sappiate solo, per dirla in soldoni, che l'aritmetica di Peano risulta incompleta o incoerente quindi di una qualsiasi proposizione, quale quella dell'equazione precedente, non è possibile dimostrarne la veridicità o la falsità. Quindi non è possibile avere assieme le due proprietà. Quindi se gli assiomi introdotti da Peano, quelli alla base della teoria dei numeri naturali, sono compatibili e non contradittori si ha che i due teoremi di incompletezza sono indicibili, allora gli assiomi il sistema dell'aritmetica non è completo e quindi non è adatto a dimostrare tutte le proposizioni che in esso si possono esprimere. Ora non pensiate che quindi la matematica sia un qualcosa di campato in aria su regole contradittorie ed indimostrabili, no di certo. Quello che ne scaturisce è solo il limite che una certa formulazione matematica, i.e. un certo insieme di assiomi può avere. Il che è molto molto molto di più! È di più perché la cosa sorprendente dei teoremi di Gödel è il fatto che sia riuscito a dimostrare un concetto che non può essere dimostrato come vero oppure falso e pensandoci anche in questo momento io trovo che sia una cosa totalmente incredibile.
Sperando di avervi incuriosito e di non avervi tediato oltremodo, ora vi lascio con un'affermazione di Bertrand Russel sulla matematica e con un'osservazione di Roberto Vacca, contenuta nel delizioso libricino che può introdurre dolcelcemnte nel prezioso ed incredibile mondo della matematica, e dal quale io ho preso parte delle dissertazioni contenute in questo post.
"La matematica pura è quella scienza in cui non sappiamo di cosa stiamo parlando, ne se quello che stiamo dicendo sia vero". B. Russel. Vacca alla fine della sua presentazione della teoria di Gödel si domanda a cosa serve tutto questo, e risponde dicendo che serve per dare un senso all'affermazione di Russel ma anche e soprattutto a Capire meglio. Perché "Se riusciamo a ragionare su questioni complesse ed intricate come queste, riusciremo molto meglio a ragionare su ogni altra cosa. E di Ragionare bene ne abbiamo bisogno". Io mi permetto di aggiungere sempre.


Mio


PS: sicuramente in questo post sono presenti delle imprecisioni, spero non degli errori eclatanti e fuorvianti, se qualcuno volesse integrarlo, correggerlo o comunque sia migliorarlo è il ben accetto!

Referimenti bibliografici
- Anche tu matematico -Roberto Vacca. Garzanti Elefanti ed.
-Wikipedia

Pictures:
- Kurt Gödel
- Waterfall Medium -C. Escher